Эта история не новая, завязалась она в 2012-ом и, как кажется, развязалась – в 2018-ом. Кто следил за историей доказательства abc-гипотезы, тот знает, о чем речь. Для остальных поведаю этот математический триллер, от которого любители математики могут почувствовать настоящий фриссон – тот самый мороз по коже.
Для тех, кто может испытать такое не только от музыки, но и от математики. Картинка отсюда.
Оговорка. Этот пост – комбинация нескольких других и щепотка моих рассуждений на тему. Также это версия с картинками моего поста в телеграм-канале "New Yorko Times", где я пишу про машинное обучение, карьеру, науку и прочие интересности (блог, к слову тоже есть https://yorko.github.io/).
ABC-гипотеза – одна из главных в теории чисел, она связывает сложение, умножение и простые числа где-то на “самом низком уровне”. В английском “conjecture” означает, что большинство верит в верность утверждения, но оно еще не доказано (в переводе на русский эта коннотация теряется, гипотеза – это всего лишь гипотеза). Я не буду тут играть в тру математика, смысл abc-гипотезы я не смогу толком оценить (после доклада декана ФКН Аржанцева по алгебраической геометрии я даже бабушке перестал говорить, что математик). UPD: суть гипотезы поясняется в еще одном научно-популярном посте на эту тему. Но важность abc-гипотезы можно оценить по вторичным признакам: во-первых, она еще не доказана, а значит, скорее всего с помощью существующих математических аппаратов ее либо невозможно либо очень сложно доказать (вряд ли уж за почти 40 лет человечество проглядело простое элегантное доказательство, хотя как знать). Когда наконец будет доказана, значит, математика скорее всего выработает принципиально новый аппарат и продвинется далеко вперед. Во-вторых, как говорят математики, великая теорема Ферма – просто следствие abc-гипотезы, значит, если доказать abc-гипотезу, то можно “дешево” получить доказательство пресловутой великой теоремы Ферма, формулировку которой поймет любой школьник, а на доказательство которой понадобилось более 350 лет человечества и несколько лет затворничества одного конкретного человека – британца Эндрю Уайлса.
Синъити Мотидзуки. Фото: университет Киото.
И вот в 2012 году японец Синъити Мотидзуки выкладывает 4 статьи объемом более 500 стр. в сумме и утверждает, что доказал abc-гипотезу. Первая статья под названием «Интер-универсальная теория Тейхмюллера 1: Построение театров Ходжа», начинается с утверждения, что цель работы в «разработке арифметической версии теории Тейхмюллера для цифровых полей ограниченных эллиптической кривой… с помощью применения теории полуграфов анабелиоидов, фробениоидов, эталь тета-функций и логарифмических оболочек». Звучит как что-то на марсианском. Причем не только для нас, но и для специалистов. «Смотря на неё, ты чувствуешь будто читаешь статью из будущего или далёкого космоса», – написал в своем блоге Джордан Элленберг, профессор математики в Висконсинского университета. К слову, сервис ExplainPaper.com у меня поломался, когда я попросил Эй-Яй пересказать смысл аннотации первой статьи из серии.
Аннотация первой статьи из серии. Источник.
Сообщество математиков было в полнейшем ступоре. Игнорировать статью не получалось: Мотидзуки к своим 43 годам уже добился всего чего можно в математике, в 16 лет он поступил в университет Принстона, а в 22 года уже получил докторскую степень под руководством лауреата Филдсовской премии в области алгебраической геометрии Герда Фальтингса. Но и вникнуть в доказательство было почти невозможно: Мотидзуки цитирует в основном себя самого, в статьях, цитирующих опять же Мотидзуки, и т.д. по рекурсии – получается гора из почти 2000 статей. Лучшие умы алгебраической геометрии оценивали, что им нужно около года вникать в теории Мотидзуки, чтоб хотя бы сформировать хоть какое-то мнение о его теории. Не помогало и то что Мотидзуки не очень спешил пояснять свои “театры Ходжа” и прочие головоломные исхищрения, его не раз приглашали в топовые универы с курсами лекций, но японец довольно высокомерно отказывался, считая, что ни за неделю, ни за месяц нельзя объяснить его доказательство.
И получается патовая ситуация. Труд математиков могут оценить только математики (peer review), но в данном случае верификация слишком сложна, как будто подрываются сами основы самой, казалось бы, точнейшей и чистейшей из наук – математики. А пока лучшие умы вникают в новую статью, нам простым смердам остается только гадать, что происходит, надо ли гению распинаться и пояснять свои выкладки или мы, человечество, поймем все веке эдак в 24-ом, пусть лучше гений тем временем еще дальше продвинет науку.
Как вы уже наверное догадываетесь, так оно не должно работать. Наука – явление социальное. И автор исследования должен помогать людям понять себя, иначе – рискует быть непонятым и непризнанным. К слову, доказательство теоремы Ферма Эндрю Уайльзом тоже было очень сложным – специально наняли 7 математиков, которые около 2х лет только этим и занимались, что изучали доказательство Уайльза, а тот всячески помогал. Даже доказательство гипотезы Пуанкаре Перельманом, каким бы сложным ни казалось, было “нормальным”, потому что Перельман, несмотря на свой пещерный видок – нормальный ученый, действующий по устоявшейся конвенции, и смотрел он вдаль, стоя на плечах гигантов, а не соорудив Эверест из записанных в блокнотах только ему понятных мыслей.
По состоянию на 2013 год эта история прекрасно описана в статье “Парадокс доказательства на Хабре (перевод статьи “The paradox of the proof” выпускницы Стэнфорда Caroline Chen), советую почитать и комментарии на Хабре.
Развязка случилась только в 2018 году (вот статья в Nature про разоблачение). Два блистательных математика нашего поколения – немцы Jakob Stix и Peter Scholze приехали на неделю в университет Киото, чтобы разобраться с помощью Мотидзуки в его доказательстве. Вскоре после этого они объявили, что в доказательстве Мотидзуки – серьезный недочет, который нельзя быстро и просто пофиксить. Мотидзуки все отвергал. Кто прав? Что остается делать нам, тварям дрожащим? Только судить по вторичным признакам, а судя по ним, "ABC is Still a Conjecture". Попросту говоря, не сумев атаковать мысль, Мотидзуки стал атаковать мыслителей, совершая один за другим выпады в сторону немецких математиков и пытаясь доказать, что те ничего не поняли. К слову, спустя несколько месяцев после начала этих разборок, Peter Scholze получил Филдсовскую премию.
Немецкий математик, обладатель Филдсовской премии Peter Sholtze. Источник: Spiegel.
Что ж, поведение гениального японца в данном случае – красный флаг, можно смело утверждать, что теперь никто не будет всерьез воспринимать доказательство abc-гипотезы в исполнении Мотидзуки. Сообщество математиков отправило свой “десант” для проверки работ Мотидзуки, спасибо и на этом, все остальные, так же как и мы, судят о верности доказательства по вторичным признакам – поведению участвующих лиц.
Может ли доказательство Мотидзуки все еще оказаться верным? Может, но это очень маловероятно. Интересно пофантазировать и представить, что Мотидзуки мог бы ответить на критику блистательных немцев и выкрутиться красиво, но теперь это все уже теория.
Если спуститься с небес на землю и подумать, чему эта история может нас научить, то, пожалуй, это опять про тех пресловутых “токсичных гениев” (brilliant jerks) и софт-скиллы. Говорят, что корпорации сошлись во мнении что найм токсичных гениев того не стоит, важнее атмосфера в коллективе. Вот и тут гениальный японец проиграл уже по софт-скиллам: не играя по принятым правилам, ты вряд ли победишь, наука в целом и даже математика в частности – это деятельность социальная. Впрочем, я верю в то, что и по хард-скиллам Мотидзуки проиграл, а замечания Stix и Scholze действительно существенны и поэтому доказательство неверно. Наконец, хочется верить в бритву Оккама и в то, что доказательство abc-гипотезы должно быть простым – не Эверестом из статей, полностью понятных одному только их автору.
Очень круто.
Всегда задавался вопросом, чтобы использовать математические абстракции на таком высоком уровне, нужен специально заточенный под это мозг?
Или это развивается теорией о 10000 часов?
А в какой момент "мороз по коже"? Математик не смог адекватно ответить двум проверяющим, конец истории.
Интуитивно кажется что вероятность в одиночку написать > 1000 страниц математических выкладок без ошибок крайне мала, наверное еще сложнее чем аналогичное количество кода без багов. У того-же Уайлса на его 100 страниц доказательства нашли ошибки - при том что у него 7 лет было чтобы это заметить и исправить - думаю тут можно утверждать что доказательство с высокой вероятностью неверное исходя из этой эвристики.
UPD:
Исходя из этой-же эвристики нет нужды вникать в доказательство целиком и инвестировать в него N часов. Нужно просто начать с основ и если автор не непогрешимая машина, довольно скоро мы обнаружим ошибку, скорее всего не дочитав до 50-ой страницы (что и сделали проверяющие).
А что фундаментально мешает переложить доказательство на формализованный язык, и пусть компьютер (proof system) проверяет его корректность?
История Мотидзуки напоминает историю прекрасной женщины из Китая, которая 10 лет переписывала историю России в Википедии, а потом оказалось что она всё это целиком выдумала
А как так на основании того что Мотидзуки вспылил можно сказать, что верность его доказательства очень маловероятна? По-моему исходя из этого можно сказать только что у него софт скилы нулёвые. Даже два других гениальных математика вполне могли запутаться в его доказательстве. Особенно учитывая что все остальные оценивали время необходимое для понимания в год, а они за неделю нашли там недочёт.
Имхо это никакого отношения не имеет к верности/неверности доказательства.
Очень живо, но при этом плотно написано, спасибо! Когда читаю о нерешенных проблемах, всегда вспоминаю conjecture Коллаца, то самое о 3x+1.