Тред: Математические головоломки и задачи

 Публичный пост
13 января 2022  1331

Думаю, в клубе есть много ребят, которые любят решать математические головоломки и задачки. Предлагаю в этом треде собрать ваши самые любимые задачки.

На первом уровне комментариев пишем условие задачки (без решения). А вот как лучше публиковать решение не знаю. Идеально было бы скрывать решение за спойлером. Но не нашёл такой функции в маркдаун. Поэтому, думаю, за решением лучше стучаться в личку к автору комментария с задачкой. Если есть другой способ, предлагайте.

83 комментария 👇

Условие задачи

Очень простая для разминки.
Есть мнение, что чем меньше человек знаком с математикой, тем быстрее может ее решить (до определенного предела - надо все же знать про умножение)

Имеет ли решение в целых положительных числах уравнение
29*x + 30*y + 31*z = 366

  Развернуть 1 комментарий

@werth, имеет!

  Развернуть 1 комментарий

@omnster, считал или так понял? Я вот считал, когда в первый раз увидел ее.

  Развернуть 1 комментарий

@werth, так понял, как-то ответ напрашивается. Можно немножко усложнить, если заменить 366 на, скажем, 362.

  Развернуть 1 комментарий

@omnster, не у всех напрашивается.

Как по мне, тут смысл не в том, чтобы усложнить, а наоборот сделать максимально очевидно, а потом смотреть как половина решающих все равно составляет диофантовы уравнения (как я)

  Развернуть 1 комментарий

😱 Комментарий удален его автором...

  Развернуть 1 комментарий

да, диофантовые уравнение и НОД

  Развернуть 1 комментарий

@agarkowa, да, но нет. Можно проще

  Развернуть 1 комментарий

@werth, через группу вычетов?

  Развернуть 1 комментарий

@agarkowa, как по мне, так диофантовы уравнения проще.
Но нет.
Я вот тут подсказку выложил (да что уж там, почти готоый ответ), чтоб не спойлерить: https://gist.github.com/roman-r-m/99bd0c5a54b86f4558fd8a9df50b8303

  Развернуть 1 комментарий

@werth, прикольная идея, но я за диофантовы)))

  Развернуть 1 комментарий

@werth, как бухгалтер в анамнезе даже не понял в чем, собственно, подвох. )

  Развернуть 1 комментарий

@werth, классная задача, я считал подстановкой и не мог понять в чем подвох

потом погуглил и ответ убил :)

  Развернуть 1 комментарий

@werth, хм. можно вместо 29 поставить 28, а вместо 366 поставить 365) станет более очевидно

  Развернуть 1 комментарий

@paradi2e, слишком очевидно, мне кажется

  Развернуть 1 комментарий

@werth, минуты через 2 понял. Имеет :)

  Развернуть 1 комментарий

@werth,

function solveDiofant(a, b, c, val) {
 for (var x = 1; a * x < val; x++) {
  for (var y = 1; b * y < val; y++) {
   for (var z = 1; c * z < val; z++) {
    if (a * x + b * y + c * z === val) { return [x, y, z]; }
   }
  }
 }
}
  Развернуть 1 комментарий

@ikeyten, ну так не интересно

  Развернуть 1 комментарий

@werth, представить 29 как 30-1, а 31 как 30+1 быстро помогло (как диофантово в уме не решил бы)

  Развернуть 1 комментарий
Георгий Широков , Инженер-конструктор автор 13 января в 07:52

Условие задачи

Вот недавно попалась такая задачка.

Есть тёмная комната. В комнате стоит стол. На столе в случайном порядке лежат 100 монет. 88 монет лежит орлом вверх, 12 решкой вверх. Вам надо зайти в комнату и разделить монеты на две кучи (необязательно одинаковые). В каждой куче должно быть одинаковое количество решек. На ощупь определить орёл или решка нельзя.

Я сам пока не решил.

  Развернуть 1 комментарий

@gekonshi, подозреваю, что можно рёсёгпсбшйгбуэ нпоёуь (шифр Цезаря со сдвигом на 1).

  Развернуть 1 комментарий

@yeputons, да, разумеется, можно переворачивать монеты.

Кстати, шифр Цезаря можно использовать для публикации решения к задачам)

  Развернуть 1 комментарий

@gekonshi, Ну если можно рёсёгпсбшйгбуэ нпоёуь, то тогда легко. Сбиеёмйуэ об егё лфшй 12 й 88. Рёсёгёсофуэ гтё нпоёуь г лфшё т 12 нпоёубнй. Ётмй г 88 вьмп x сёщёл, уп г есфдпк 12 - x. Рёсёгёсофг нь рпмфшйн x сёщёл

  Развернуть 1 комментарий

@ndrewnee. Я сам до ответа так и не додумался, решил, что есть подвох и подглядел. Теперь примерно представляю, что мог бы через аналогию с 1 монетой попробовать решить. Но все равно интересно, а есть ли какой-то понятный процесс, через который можно догадаться до ответа в этой задаче. Может уравнение какое-то построить или физический процесс сопоставить. А то как доказать зная ответ - ясно, а вот наоборот, кроме как "озарение" ничего не приходит на ум.

  Развернуть 1 комментарий

@n0str, понять, что все монетки неотличимы и единственное, что мы можем сделать - вот то самое с некоторым количеством монет. И единственное, чем отличаются решение - это количество. И это неинтерактивно. С каким количеством? Составить уравнение и решить.

  Развернуть 1 комментарий

@gekonshi, темная комната монеты в одной куче, вы просто знаете что 12 из 100 лежат решкой вверх?

  Развернуть 1 комментарий

@agarkowa, всё так.

  Развернуть 1 комментарий

@yeputons, а не разумно ли тут не искать каких либо стратегий, а просто все перевернуть побольше количество раз, опираясь на закон больших чисел все будет стремится к 1/2

  Развернуть 1 комментарий

@agarkowa, мне кажется, что если пытаться что-то сделать вероятностно — то надо будет и что-нибудь аккуратно про эти вероятности доказать. Может быть весьма муторно. А так есть несложное надёжное строгое детерминированное решение.

  Развернуть 1 комментарий

@yeputons, почему-то подумала что если отсчитать рандомно 12 монет и их не переворачивать вообще, то в случае если там будет больше решек чем в обычной совокупности (из решки из перевернутой) то шанс увеличится или ошибаюсь(

  Развернуть 1 комментарий

@agarkowa, не очень понятно, по сравнению с чем увеличится. Вот выше в комментариях есть зашифрованное решение, которое делает нечто и получает всегда гарантированно получает две кучки с равным количеством решек, то есть вероятность получить верное решение в зависимости от действий — 100%. Увеличить это не получится =)

К тому же вероятность успеха зависит, наверное, не только от действий, но и от исходной расстановки. И тут можно по-разному считать: можно считать исходную расстановку случайной и посчитать вероятность получить правильный ответ в этом случае. Можно для каждой исходной расстановки посчитать вероятность получить верный ответ своим алгоритмом, а потом выбрать самую "плохую" расстановку, наверняка будет другая вероятность.

Это я к чему: если хотеть строгих рассуждений, то вероятности обычно уводят в тёмный лес, поэтому я бы их опасался. А если рассуждать нестрого, то можно случайно получить что-нибудь противоречивое.

  Развернуть 1 комментарий

@gekonshi, у каждой монеты есть решка) Можно их на пополам поделить)

  Развернуть 1 комментарий

Условие задачи

Рассмотрим такую игру.
Я загадываю 3 целых положительных числа x,y,z. Ваша задача их угадать.

Для этого вы можете мне 2 раза задать вопрос такого вида:

вы выбираете 3 целых положительных числа a,b,c, говорите их мне, а я в ответ говорю результат.
(a*x + b*y + c*z)

И можно второй раз сказать 3 других числа - d,e,f, а я скажу чему равно (d*x +e*y + f*z)

Как из этого найти x,y,z?

  Развернуть 1 комментарий

@werth, это же обычная серия уравнений (или как там это называется), мы такие в школе решали

  Развернуть 1 комментарий

@zvse, в целом, да, но нужно иметь в виду, что для того, чтобы решить систему с n неизвестных в общем случае нужно не меньше n уравнений.

  Развернуть 1 комментарий

@zvse, она ж недоопределена - 2 уравнения и 3 неизвестных. А решение единственное.

  Развернуть 1 комментарий

@werth, тут ещё есть два дополнительных ограничения: числа целые, числа положительные. Это может оказаться фатально.

  Развернуть 1 комментарий

@yeputons, не фатально, а наоборот необходимо

  Развернуть 1 комментарий

@yeputons, Нет. Система в любом случае неопределена. Сходу кажется, что в общем случае даже целых решений должно быть неограниченно много

  Развернуть 1 комментарий

@acheremuhin, так мы же и не про общий случай говорим. Есть довольно много систем с единственным целым положительным решением. Я вроде исходную задачу решил, решение честное очень чёткое, честное и математичное, без трюков вроде "попросить чтобы желания считались по модулю".

  Развернуть 1 комментарий

@yeputons, Что-то типа, если a=1, b=0, c=0, d=e=f = 1? Тогда четко получаем х, и нужно найти все возможные комбинации y,z, которые в сумме дают какое-то целое положительное число?

  Развернуть 1 комментарий

@acheremuhin, с одной стороны, я не могу сходу доказать, что решение такой системы всегда одно (в натуральных числах)

с другой - зная ответ, я не могу представить, как может быть больше одного решения

  Развернуть 1 комментарий

@acheremuhin, например. В некоторых случаях даже может повезти и решение такой системы будет единственным. А в некоторых не повезёт и будет неоднозначно.

  Развернуть 1 комментарий

@werth, Кстати, да. Если две переменные из трех равны, то решение получится однозначным

  Развернуть 1 комментарий

@acheremuhin, не очень понял насчет 2 из 3 равны

  Развернуть 1 комментарий

@werth, x=y или x=z или y=z. Тогда это будет система двух уравнений с двумя неизвестными, которая дает одно решение.

  Развернуть 1 комментарий

@acheremuhin, это не интересно, надо в общем случае

  Развернуть 1 комментарий

@werth, На почту писать, да?

  Развернуть 1 комментарий

@acheremuhin, да, можно на почту

  Развернуть 1 комментарий

@yeputons, а зачем герой комикса просит считать желания отдельно?

  Развернуть 1 комментарий

@aponomarev, похоже, что это кривоватый перевод.

Как я понял, имеется в виду, что каждое желание надо рассматривать отдельно с точки зрения правила, что нельзя желать больше желаний.

И получается, что по отдельности каждое желание это правило не нарушает, а все вместе - да.

  Развернуть 1 комментарий

@werth, звучит разумно, спасибо

  Развернуть 1 комментарий

@werth, мне кажется, можно действовать из соображений записать разные переменные в разные разряды, что-то вроде N = 100x + 10y + z. Если бы все неизвестные были меньше десяти, то после первой попытки получался бы ответ. А так можно из вон той первой попытки оценить величину наибольшего из неизвестных, вернее, длину его десятичной записи как lg N, взять еще пару нулей про запас: n = 3 + lg N, и второй попыткой спрашивать 10^2n x + 10^n y + z, вроде тогда неизвестные не будут перекрываться в десятичной записи.

  Развернуть 1 комментарий

@omnster, именно.

  Развернуть 1 комментарий

@omnster, почему нельзя первой попыткой взять 1,1,1 и взять N так, чтобы сумма была меньше 1eN, а вторым ходом 1e(2*N),1eN,1.
Случай более общий и цифра будет, каждые N разрядов.

  Развернуть 1 комментарий

@VBodrov, я, честно говоря, первый пример написал, чтобы принцип того, как оно работает на числах меньше десяти, был бы совсем очевиден. А так да, вроде можно для первой попытки брать три единицы.

  Развернуть 1 комментарий
IlyaS , ПО для телекомов 13 января в 11:27

Условие задачи

Детская задачка:

Рыба весит 8 килограмм плюс половина ее собственного веса, сколько весит рыба?

  Развернуть 1 комментарий

@IlyaSamokhin, 8 кг?

  Развернуть 1 комментарий
  Развернуть 1 комментарий

@IlyaSamokhin,
рыба весит x, 8 + x/2 = x

  Развернуть 1 комментарий

В последнее время подсел на числовые ребусы. Они достаточно простые и не напрягают мозг, поэтому скорее релаксируешь в процессе. Очень нравится на айпаде черкать, прямо наслаждаюсь)
**Каждую букву необходимо заменить на цифру. При этом, каждая цифра может встречаться один раз. Т.е. если буква А=1, то буква Г уже не может быть единицей. **





  Развернуть 1 комментарий

Про 1000 бочек, в которой одна отравлена, наверное все программисты слышали. А если и не слышали, в секунды решают. А тут на днях услышал немножко другую адаптацию. Оригинальный текст заменён для усложнения гуглёжки и для лулзов.

Васян решил устроить праздник и для этого приготовил 239 бутылок вина за 5€. Однако на тусу к нему пробрался забаненый недоброжелатель, который подсунул одну бутылку за 12€. Никиту Богача тут же вычислили и второй раз рационально забанили. Известно, что человек, который выпил дорогого вина в течение 24 часов(Может и сразу, а может только на следующие сутки) бежит писать во все Васины соц.сети, что он у себя в Германии зажрался. До тусы осталось всего два дня, то есть 48 часов. У Васи есть Парламент, который с оказией оказался рядом в составе пяти человек, он в них почти уверен и готов рискнуть и дать им попробовать вина, потому что даже если они что-то напишут им никто не поверит, но парламентарий теряет доверие и повторно дегустировать вина не может.

Помогите Васе вычислить минимально возможную партию вина.

FAQ

  1. В оригинальной задаче выпившие умирают, поэтому не надо выпадать в мету и обсуждать формулировку.
  2. Дано: 239 одних вин, и 1 других вин. За две попытки нужно вычислить минимальную партию, куда попадёт другое вино, "потратив" 5 испытателей.

ЗЫ
Ну если совсем задачу испортил, напишу как было сформулиовано в оригинале. 😓

  Развернуть 1 комментарий

@VBodrov, признаю поражение. Стендап не моё.

Вот оригинальный текст:

Патриций решил устроить праздник и для этого приготовил 240 бочек вина. Однако к нему пробрался недоброжелатель, который подсыпал яд в одну из бочек. Злодея тут же поймали и дальнейшая его судьба больше неизвестна. Про яд стало известно, что человек, его выпивший, умирает в течение 24 часов(то есть не ровно, а может как через час, так и через 24 часа). До праздника осталось всего два дня, то есть 48 часов. У Патриция есть пять рабов, которыми он готов пожертвовать, чтобы узнать в какой именно бочке яд.

Как Патрицию вычислить отравленную бочку?
  Развернуть 1 комментарий
Кристина Крицкая , Ассистент Вастрика Команда Клуба 13 января в 11:38

А может решения прям в комментах писать? Обсуждение живое будет, ну и не с первого раза ответы правильные будут, наверное :)

  Развернуть 1 комментарий

@kriss2003, я имел ввиду, чтобы автор коммента с задачей не писал сразу ответ. А в субкомментах к задаче, пожалуйста, можно обсуждать задачу сколько угодно.

  Развернуть 1 комментарий
Dmitry Smirnov , Директор по разработке 13 января в 20:36

Условие задачи
Адаптируем задачу под IT специфику:
Есть 2 проекта, один гарантиовано провальный, другой простой и понятный. Есть 2 заказчика, по одному на проект. Оба заказчика знают правду про проекты и друг про друга. Один патологический лжец, а другой всегда говорит правду, но вы не знаете кто есть кто. Вы можете задать 1 вопрос одному из заказчиков и на основе единственного ответа выбрать проект. Сформулируйте свой вопрос и стратегию выбора.

  Развернуть 1 комментарий

@Aldorishe, Спросить "рпдгз бяр дрсы кёдх?" (шифр Цезаря)

  Развернуть 1 комментарий

@just_evseev, ты так не узнаешь, у кого какой проект
у тебя же не осталось на это вопросов

Мой вопрос таков:
Ётмй вь а трсптйм есфдпдп иблбишйлб, по вь обигбм тгпк рспёлу рспгбмэоьн ймй рсптуьн й рпоауоьн?

Объяснение:
Хблуйшётлй нь иобён, шуп пейо йи мпдйшётлйц рёсёлмяшбуёмёк об гьцпеё ебжу уп зё, шуп об гцпеё, б есфдпк - йогёсуйсфёу иобшёойё. Ётмй нь тнпзён рптмёепгбуёмэоп рптубгйуэ егб рёсёлмяшбуёма, нь вфеён гтёдеб рпмфшбуэ йогёсуйспгбоопё иобшёойё.

  Развернуть 1 комментарий

@mixbez, И это правильный ответ 🎉

  Развернуть 1 комментарий

@just_evseev, чот и без цезаря похоже на общение с заказчиком

  Развернуть 1 комментарий

@omnster, ахахахах

  Развернуть 1 комментарий

@Aldorishe, нужно пересечь реку с заказчиком, программистом и QA, но в лодку помещается кроме тебя ещё два человека.

Если оставить без присмотра программиста с заказчиком, тот его уведёт, а если программиста и QA, они подерутся. Как перевезти всех на другой берег?

  Развернуть 1 комментарий

@ikeyten, козу, волка и капусту возили в 5-м классе, я с тех пор уже все забыл :) Но практика показывает, что без нормального продакта они так и так друг друга порешат.

  Развернуть 1 комментарий

@Aldorishe, в этой задачке ты и есть продакт.

  Развернуть 1 комментарий

В левой части написано х в степени х, который в степени х и т.д. счётное число раз. Нужно найти х. После этого предлагается решить также следующее уравнение:

  Развернуть 1 комментарий
Egor Suvorov , Программист/преподаватель C++ 13 января в 09:41

Предлагаю порешать задачи с маткружка, который я заканчивал: http://mathcenter.spb.ru/12/series/index.html . Рекомендую начинать с пятого класса (в самом низу) и идти по сериям.

Например, вот моя любимая, первая серия первого летнего лагеря:

Условие задачи

Имеется 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Сталкиваясь, два разноцветных хамелеона перекрашиваются в третий цвет (например, из серого и бурого хамелеонов образуется два малиновых). Докажите, что все хамелеоны никогда не приобретут один и тот же цвет.

  Развернуть 1 комментарий

Условие задачи
Есть 12 монет. Одна из них фальшивая. При этом неизвестно, больше весит фальшивая монета или меньше. Нужно найти фальшивую монетку с помощью только 3 взвешиваний весов.

  Развернуть 1 комментарий

@Ohirro, полагаю, что тут надо делением на группы и методом исключения всё делать. Могла бы расписать тут ответ, но тогда другим будет неинтересно.

  Развернуть 1 комментарий

@summersammy, а тут нет ката? 🤔

  Развернуть 1 комментарий

Можно в качестве ката использовать base64 :)
0J3QsNC/0YDQuNC80LXRgCwg0LLQvtGCINGC0YPRgiDQvtC/0LjRgdCw0YLRjCDRgNC10YjQtdC90LjQtQ==
Если найти сервис, который в url добавляет закодированный текст - то расшифровка будет в 1 клик!

  Развернуть 1 комментарий

@Ohirro, постараюсь не спойлерить, но вначале взвешиваем 5-на-5, потом 2-2

  Развернуть 1 комментарий

@Ohirro, Наверное стоит уточить, что весы не те, что мы привыкли, а с чашами? Если брать стандартный вариант задачи)

Уфу гтж рсптуп: еёмйн об 3 дсфррь рп 3 нпоёуь, гигёщйгбён 2 дсфррь. Ётмй сбгоь - вёсжн птубгщфята дсфррф й еёмйн прауэ об 3. Ётмй сбгоь, уп нь иобён хбмэщйгфя. Ётмй об лблпн-уп юубрё пеоб шбтуэ рёсёгёщйгбёу есфдфя. Нёоаён пеоф йи нпоёу/дсфрр, тнпусйн шуп рспйтцпейу, обцпейн уф йи дсфрр, лпупсба пумйшбёута пу егфц есфдйц рп гётф й прсёеёмаён мёдшё ймй уазёмёё хбмэщйгба нпоёуб. Ебмэщё ефнбя рпоауоп.

  Развернуть 1 комментарий

Я когда-то залипал на этом сайте https://braingames.ru/, очень рекомендую. Куча классных задач по математике/логике и прочему

  Развернуть 1 комментарий

На плоскости накидано какое-то конечное количество точек, причем никакие три не находятся на одной прямой. Через одну из них — P — проведена прямая так, что она не содержит никакие другие точки. Назовем «мельницей графа Дуку» такой процесс, при котором мы поворачиваем эту прямую по часовой вокруг этой точки, пока она не зацепит какую-то новую точку Q, после чего она продолжает вращаться по часовой вокруг Q, пока не зацепит R, и так далее.

Докажите, что при любом заранее заданном числе и расположении точек можно выбрать начальное расположение прямой так, чтобы она своей «мельницей» прошлась по всем точкам бесконечное число раз (за бесконечное время)

тут разбор задачи, но сначала стоит покрутить ее в голове или на листочке :)

  Развернуть 1 комментарий

😎

Автор поста открыл его для большого интернета, но комментирование и движухи доступны только участникам Клуба

Что вообще здесь происходит?


Войти  или  Вступить в Клуб